844. Орлов А.И. Средние величины и законы больших чисел в топологических пространствах с показателями различия // Статистика и её применения. Материалы республиканской научно-практической конференции (Ташкент, 17-18 октября 2013 г.). – Ташкент: Изд-во «Университет», 2013. – С.30-37.

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 
В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПОКАЗАТЕЛЯМИ РАЗЛИЧИЯ

Александр Иванович Орлов

МГТУ им. Н.Э. Баумана, МФТИ, ЦНИИмаш, 
Москва, Россия, prof-orlov@mail.ru  

В соответствии с новой парадигмой математической статистики введены и изучены эмпирические и теоретические средние в топологических пространствах с показателями различия. Получены теоремы о существовании эмпирических и теоретических средних. Разработан общий подход к получению законов больших чисел – утверждений о сходимости эмпирических средних к теоретическим. Приведены две теоремы о достаточных условиях для справедливости законов больших чисел. Рассмотрены результаты вычислительного эксперимента по изучению свойств медианы Кемени - частного случая эмпирического среднего для набора ранжировок без связей (строгих упорядочений) в зависимости от объема выборки и характеристик пространства бинарных отношений.

Определения эмпирических и теоретических средних. Одна из основных статистических процедур — вычисление средних величин для тех или иных совокупностей данных. Законы больших чисел гласят: эмпирические средние сходятся к теоретическим. В классическом варианте: выборочное среднее арифметическое при определенных условиях сходится по вероятности при росте числа слагаемых к математическому ожиданию. На основе законов больших чисел обычно доказывают состоятельность различных статистических оценок. В целом эта тематика занимает заметное место в теории вероятностей и математической статистике. 
Однако математический аппарат при этом основан на свойствах сумм случайных величин (векторов, элементов линейных пространств). Следовательно, он не пригоден для изучения вероятностных и статистических проблем, связанных со случайными объектами нечисловой природы. Это такие объекты, как бинарные отношения, нечеткие множества, вообще элементы пространств без векторной структуры. Объекты нечисловой природы все чаще встречаются в прикладных исследованиях. Много конкретных примеров приведено в [1, 2, 3]. Поэтому необходимо научиться усреднять различные нечисловые данные, т.е. определять эмпирические и теоретические средние в пространствах произвольной природы. Кроме того, представляется полезным получение законов больших чисел в пространствах нечисловой природы. 
Для осуществления описанной научной программы необходимо решить следующие задачи.
А. Определить понятие эмпирического среднего.
Б. Определить понятие теоретического среднего.
В. Ввести понятие сходимости эмпирических средних к теоретическому.
Г. Доказать при тех или иных комплексах условий сходимость эмпирических средних к теоретическому.
Образцом для определения средних величин является медиана Кемени [1, 3] в пространствах бинарных отношений. Пусть X — пространство произвольной природы, x1, x2, x3, ..., xn — его элементы. Чтобы ввести эмпирическое среднее для x1, x2, x3, ..., xn, используем действительнозначную (т.е. с числовыми значениями) функцию f(x, y) двух переменных со значениями в X. В стандартных математических обозначениях можно записать: f : X2  R1. Величина f(x, y) является показателем различия между x и y: чем f(x, y) больше, тем x и y сильнее различаются. В качестве f можно использовать расстояние (метрику) в Х (в частности, расстояние Кемени, если X –одно из пространств бинарных отношений), квадрат расстояния и т.п. 
Определение 1. Средней величиной для совокупности x1, x2, x3, ..., xn (относительно показателя меры различия f), обозначаемой далее любым из трех способов: xср = En(f) = En(x1, x2, x3, ..., xn; f), называем решение оптимизационной задачи
                                                      (1)
Это определение согласуется с классическими определениями средних величин. Если Х = R1, f(x, y) = (x – y)2, то xср — выборочное среднее арифметическое. Если же Х = R1, f(x, y) = |x – y|, то при n = 2k+1 имеем хср = x(k + 1), при n = 2k эмпирическое среднее является отрезком [x(k), x(k + 1)]. Здесь через x(i) обозначен i-ый член вариационного ряда, построенного по x1, x2, x3, ..., xn, т.е. i-я порядковая статистика. Таким образом, при Х = R1, f(x, y) = |x – y| решение задачи (1) дает естественное определение выборочной медианы. Правда, несколько отличающееся от определения, обычно предлагаемого в курсах «Общей теории статистики», в котором при n = 2k медианой называют полусумму двух центральных членов вариационного ряда (x(k) + x(k+1))/2. Иногда x(k) называют левой медианой, а х(k+1) — правой медианой [1].
Решением задачи (1) является множество En(f), которое может быть пустым, может состоять из одного или многих элементов. Выше приведен пример, когда решением является отрезок. Если Х = R1\{х0}, f(x, y) = (x – y)2, а среднее арифметическое выборки равно х0, то En(f) пусто. 
При моделировании реальных ситуаций часто можно принять, что Х состоит из конечного числа элементов. Тогда множество En(f) всегда непусто, поскольку минимум на конечном множестве обязательно достигается.
Понятия случайного элемента x = x() (где  - элементарный исход, входящий в пространство элементарных исходов) со значениями в Х, его распределения, независимости случайных элементов используем согласно [4]. Будем считать, что функция f измерима относительно -алгебры, участвующей в определении случайного элемента x = x(). Тогда функция f(x(), y) при фиксированном y является действительнозначной случайной величиной. Предположим, что она имеет математическое ожидание.
Определение 2. Теоретическим средним E(x, f) (другими словами, математическим ожиданием в пространстве Х) случайного элемента x = x() относительно показателя различия f называется решение оптимизационной задачи 
                                               (2)
Это определение, как и для эмпирических средних, согласуется с классическим. Если Х = R1, f(x, y) = (x – y)2, то Е(x, f) = М(x()) — математическое ожидание в обычном смысле. При этом Мf(x(), y) — дисперсия случайной величины x = x(). Если же Х = R1, f(x, y) = |x – y|, то E(x, f) = [a, b], где a = sup{t: F(t) < 0,5}, b = inf{t: F(t) > 0,5}, где F(t) — функция распределения случайной величины x = x(). Если график F(t) имеет плоский участок на уровне F(t) = 0,5, то медиана — теоретическое среднее в смысле определения 2 — является отрезком. В классическом случае обычно говорят, что каждый элемент отрезка [a, b] является одним из возможных значений медианы. Поскольку наличие указанного плоского участка — исключительный случай, то обычно решением задачи (2) является множество из одного элемента a = b — классическая медиана распределения случайной величины x = x(). 
Теоретическое среднее E(x, f) можно определить лишь тогда, когда Мf(x(), y) существует при всех y  X. Оно может быть пустым множеством, например, если Х = R1\{х0}, f(x, y) = (x – y)2, x0 = М(x()). И то, и другое исключается, если Х конечно. Однако и для конечных Х теоретическое среднее может состоять не из одного, а из многих элементов. Отметим, однако, что в множестве всех распределений вероятностей на Х подмножество тех распределений, для которых E(x, f) состоит более чем из одного элемента, имеет коразмерность 1, поэтому основной является ситуация, когда множество E(x, f)  содержит единственный элемент.
Существование средних величин. Под существованием средних величин (эмпирических и теоретических средних) будем понимать непустоту множеств решений соответствующих оптимизационных задач.
Если Х состоит из конечного числа элементов, то минимум в задачах (1) и (2) берется по конечному множеству. А потому, как уже отмечалось, эмпирические и теоретические средние существуют. 
Ввиду важности проблемы существования средних величин в пространствах общей природы приведем (без доказательств) посвященные этой проблеме теоремы 1 и 2. Топологические термины и результаты будем использовать в соответствии с классической монографией [5]. Так, топологическое пространство называется бикомпактным в том и только в том случае, когда из каждого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие [5, с. 183]. 
Примем, что функция f измерима относительно -алгебры, участвующей в определении случайного элемента x = x(). Другими словами, пусть выполнены условия согласования топологии, связанной с f, и измеримости, связанной с x(), т.е. множества вида {x: f(x, x0) < R} при любых x0 и R являются измеримыми, а потому все открытые множества в топологии, порожденной показателем различия f, являются измеримыми, следовательно, вероятности попадания в открытые множества определены.
Теорема 1. Пусть Х — бикомпактное пространство, функция f непрерывна на Х2 (в топологии произведения). Тогда эмпирическое и теоретическое средние существуют.
В ряде интересных для приложений ситуаций Х не является бикомпактным пространством. Например, если Х = R1. В этих случаях приходится наложить на показатель различия f некоторые ограничения, например, так, как это сделано в теореме 2.
Теорема 2. Пусть Х — топологическое пространство, непрерывная (в топологии произведения) функция f: X2  R1 неотрицательна, симметрична (т.е. f(x, y) = f(y, x) для любых x и y из X), существует число D > 0 такое, что при всех x, y, z из X 
                                 (3)
Пусть в Х существует точка x0 такая, что при любом положительном R множество {x: f(x, x0) < R} является бикомпактным. Пусть для случайного элемента x(), согласованного с топологией в рассмотренном выше смысле, существует g(x0) = Mf(x(), x0).
Тогда существуют (т.е. непусты) математическое ожидание (теоретическое среднее) E(x, f) и эмпирические средние En(f).
Замечание. Условие (3) — некоторое обобщение неравенства треугольника. Например, если g — метрика в X, а f = gp при некотором натуральном p, то для f выполнено соотношение (3) с D = 2p. 
О формулировках законов больших чисел. Пусть x, x1, x2, x3, ..., xn — независимые одинаково распределенные случайные элементы со значениями в Х. Закон больших чисел — это утверждение о сходимости эмпирических средних к теоретическому среднему (математическому ожиданию в Х) при росте объема выборки n, т.е. утверждение о том, что 
                      (4)
при n  . Однако, и слева, и справа в формуле (4) стоят, вообще говоря, множества. Поэтому понятие сходимости в (4) требует обсуждения и определения. 
В силу классического закона больших чисел при n  
                                                 (5)
в смысле сходимости по вероятности, если правая часть существует (теорема А.Я. Хинчина, 1923 г.).
Если пространство Х состоит из конечного числа элементов, то из соотношения (5) легко вытекает (см., например, [6, с.192–193]), что
                                               (6)
Другими словами, En(f) является состоятельной оценкой E(x, f). Выражаясь более точно, соотношение (6) определяет понятие состоятельной оценки.
Если E(x, f) состоит из одного элемента, т.е. E(x, f) = {x0} при некотором x0, то соотношение (6) переходит в следующее:
                                                         (7)
Однако с прикладной точки зрения доказательство соотношений (6) — (7) не дает достаточно уверенности в возможности использования En(f) в качестве оценки E(x, f). Причина в том, что в процессе доказательства объем выборки предполагается настолько большим, что при всех y  X одновременно левые части соотношений (5) сосредотачиваются в непересекающихся окрестностях правых частей.
Замечание. Если в соотношении (5) рассмотреть сходимость с вероятностью 1, то аналогично (6) получим усиленный закон больших чисел [6, с.193–194], согласно которому с вероятностью 1 эмпирическое среднее En(f) входит в теоретическое среднее E(x, f), начиная с некоторого объема выборки n, вообще говоря, случайного, n = n(). Не будем останавливаться на сходимости с вероятностью 1 для пространств Х, состоящих из конечного числа элементов, поскольку в соответствующих постановках, подробно разобранных в монографии [6], нет принципиальных отличий от случая сходимости по вероятности.
Если Х не является конечным, например, Х = R1, то соотношения (6) и (7) неверны. Поэтому необходимо искать иные формулировки закона больших чисел. В классическом случае сходимости выборочного среднего арифметического к математическому ожиданию можно записать закон больших чисел так: для любого положительного числа  > 0 справедливо предельное соотношение
                                       (8)
В этом соотношении в отличие от (6) речь идет о попадании эмпирического среднего En(f), совпадающего в рассматриваемом частном случае со средним арифметическим результатов наблюдений, не непосредственно внутрь теоретического среднего E(x, f), а в некоторую окрестность теоретического среднего.
Обобщим эту формулировку. Как задать окрестность теоретического среднего в пространстве произвольной природы? Естественно взять его окрестность, определенную с помощью какой-либо метрики или показателя различия. Однако полезно обеспечить на ее дополнении до Х отделенность множества значений среднего расстояния Мf(x(), y) как функции y от минимума этой функции на всем Х.
Поэтому мы сочли целесообразным определить такую окрестность с помощью самой функции Мf(x(), y). 
Определение 3. Для любого  > 0 назовем -пяткой функции g(x) множество
                           (9)
Таким образом, в -пятку входят все те х, для которых значение g(x) либо минимально, либо отличается от минимального (точнее, от точной нижней грани) не более чем на . Так, для X = R1 и функции g(x) = х2 минимум равен 0, а -пятка имеет вид интервала (–0,5; 0,5). В формулировке (8) классического закона больших чисел утверждается, что при любом  > 0 вероятность попадания среднего арифметического в 2-пятку математического ожидания стремится к 1. Поскольку  > 0 произвольно, то вместо 0,5-пятки можно говорить о -пятке, т.е. перейти от (8) к эквивалентной записи
                                                    (10)
Соотношение (10) допускает непосредственное обобщение на общий случай пространств произвольной природы.
СХЕМА ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. Пусть x, x1, x2, x3, ..., xn — независимые одинаково распределенные случайные элементы со значениями в пространстве произвольной природы Х с показателем различия f: X2  R1. Пусть выполнены некоторые математические условия регулярности (они формулируются в конкретных теоремах). Тогда для любого  > 0 справедливо предельное соотношение
                                                      (11)
Аналогичным образом может быть сформулирована и общая идея усиленного закона больших чисел. 
Ниже приведены две конкретные формулировки «условий регулярности». 
Термин СХЕМА ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ – частный случай термина «схема такого-то утверждения». Например, «схема центральной предельной теоремы» - это утверждение о том, что распределение среднего арифметического независимых случайных величин с числовыми значениями после соответствующего центрирования и нормирования приближается к стандартному нормальному распределению при росте числа слагаемых. Как известно, конкретные формулировки в рамках этой схемы доказывались в течение более чем 200 лет – от Муавра (1713 г.) до Линдеберга и Феллера (30-е годы ХХ в.).  
Теоремы о законах больших чисел. Начнем с рассмотрения естественного обобщения конечного множества — бикомпактного пространства Х.
Теорема 3. В условиях теоремы 1 справедлив закон больших чисел - соотношение (40).
Если Х не является бикомпактным пространством, необходимо суметь оценить рассматриваемые суммы «на периферии», вне бикомпактного ядра, которое обычно выделяется естественным путем. Один из возможных комплексов условий сформулирован выше в теореме 2.
Теорема 4. В условиях теоремы 2 справедлив закон больших чисел, т.е. соотношение (11).
Справедливы и иные варианты законов больших чисел, полученные, в частности, в статье [7]. Первое доказательство закона больших чисел (в весьма частном случае) было получено еще Дж. Кемени [8].
Изучение свойств медианы Кемени при конечных объемах выборок. Рассмотрим на основе развитой выше теории частный случай пространств нечисловой природы — пространство бинарных отношений определенного вида (упорядочений, разбиений, толерантностей и др.) на конечном множестве. Медиана Кемени как способ нахождения эмпирического среднего соответствует использованию в качестве показателя различия расстояния Кемени [1, 3]. Поскольку число бинарных отношений на конечном множестве конечно, то эмпирические и теоретические средние для произвольных показателей различия существуют и справедливы сформулированные выше законы больших чисел. 
Бинарные отношения, в частности, упорядочения, часто используются для описания мнений экспертов. Тогда расстояние Кемени измеряет близость мнений экспертов, а медиана Кемени позволяет находить итоговое усредненное мнение комиссии экспертов. Расчет медианы Кемени обычно включают в информационное обеспечение систем принятия решений с использованием оценок экспертов. Речь идет, например, о математическом обеспечении автоматизированного рабочего места «Математика в экспертизе» (АРМ «МАТЭК») [2], предназначенного, в частности, для использования при проведении экспертиз в задачах экологического страхования и оценки химической безопасности. Поэтому представляет практический интерес численное изучение свойств медианы Кемени при конечном объеме выборки. Такое изучение дополняет описанную выше асимптотическую теорию, в которой объем выборки предполагается безгранично возрастающим (n  ).
С помощью специально разработанной программной системы В.Н. Жихарев вместе с нами провел ряд серий численных экспериментов по изучению свойств выборочных медиан Кемени (в пространстве ранжировок без связей, другими словами, строгих упорядочений). Примеры полученных результатов приведены в табл. 1. В каждой серии методом статистических испытаний определенное число раз моделировался случайный и независимый выбор экспертных ранжировок, а затем находились все медианы Кемени для смоделированного набора мнений экспертов. При этом в сериях 1 – 5 распределение ответа эксперта предполагалось равномерным на множестве всех ранжировок. В серии 6 это распределение являлось монотонным относительно расстояния Кемени с некоторым центром (о понятии монотонности см. [1, гл.1]), т.е. вероятность выбора определенной ранжировки убывала с увеличением расстояния Кемени этой ранжировки от центра. Таким образом, серии 1 – 5 соответствуют ситуации, когда у экспертов нет почвы для согласия, нет группировки их мнений относительно некоторого единого среднего группового мнения, в то время как в серии 6 есть единое мнение — описанный выше центр, к которому тяготеют ответы экспертов. 

Таблица 1. Результаты вычислительного эксперимента по изучению медианы Кемени
Номер серии	1	2	3	4	5	6	
Число испытаний	100	1000	50	50	1000	1000	
Количество объектов	5	5	7	7	5	5	
Количество экспертов n	10	30	10	30	10	10	
Частота непустого пересечения	0,85	0,58	0,52	0,2	0,786	0,911	
Среднее отношение диаметров	0,283	0,124	0,191	0,089	0,202	0,044	
Средняя мощность медианы	5,04	2,41	6,4	2,88	3,51	1,35	
Максимальная мощность медианы	30	14	19	11	40	12	

Результаты, приведенные в табл. 1, можно комментировать разными способами. Неожиданным явилось большое число элементов в выборочной медиане Кемени — как среднее, так и особенно максимальное. Одновременно обращает на себя внимание убывание этих чисел при росте числа экспертов и особенно при переходе к ситуации реального существования группового мнения (серия 6). Достаточно часто один из ответов экспертов входит в медиану Кемени (т.е. пересечение множества ответов экспертов и медианы Кемени непусто), а диаметр медианы как множества в пространстве ранжировок заметно меньше диаметра множества ответов экспертов. По этим показателям — наилучшее положение в серии 6. Грубо говоря, всяческие «патологии» в поведении медианы Кемени наиболее резко проявляются в ситуации, когда ее применение не имеет содержательного обоснования, т.е. когда у экспертов нет основы для согласия, их ответы равномерно распределены на множестве ранжировок.
Увеличение числа испытаний в 10 раз при переходе от серии 1 к серии 5 не очень сильно повлияло на приведенные в таблице характеристики, поэтому представляется, что суть дела выявляется при числе испытаний (в методе Монте-Карло), равном 100 или даже 50. Увеличение числа объектов или экспертов увеличивает число элементов в рассматриваемых пространствах ранжировок, а потому уменьшается частота попадания какого-либо из мнений экспертов внутрь медианы Кемени. А также отношение диаметра медианы к диаметру множества экспертов и число элементов медианы Кемени (среднее и максимальное). Можно сказать так: увеличение числа объектов или экспертов уменьшает степень дискретности задачи, приближает ее к непрерывному случаю, а потому уменьшает выраженность различных «патологий».
Есть много интересных направлений исследований, которые здесь не рассматриваем. Они связаны со сравнением медианы Кемени с другими методами усреднения мнений экспертов, например, с нахождением итогового упорядочения по методу средних рангов [2]. А также с использованием малых окрестностей ответов экспертов для поиска входящих в медиану ранжировок (с целью сокращения расчетов). Или с построением теоретических и численных оценок скорости сходимости в законах больших чисел. 
Центральная роль в нечисловой статистике эмпирических и теоретических средних, законов больших чисел и их обобщений, предназначенных для изучения решений экстремальных статистических задач, продемонстрирована в [1, 3]. Современная теория экспертных оценок является прикладным «зеркалом» нечисловой статистики. Значение постановок настоящей статьи для разработки и применения экспертных технологий обсуждается в [9, 10].
Средние величины и законы больших чисел для них широко используются в организационно-экономическом моделировании, как в теоретических разработках, так и при решении задач управления хозяйственными единицами [11]. При решении проблем управления постоянно используются экспертные оценки, поэтому при разработке методологии государственной политики и управления согласно подходу разрабатываемой нами новой базовой организационно-экономической теории -  неформальной информационной экономике будущего [12] необходимо применение приведенных выше результатов. По нашему мнению, эти результаты могут оказаться полезными во многих направлениях исследований и практической деятельности, в том числе в автоматизированном системно-когнитивном анализе (см., например, [13]), разработанном Е. В. Луценко и рассмотренном в монографии [14].
Понятия эмпирического и теоретического средних в пространствах произвольной природы, формулировки и доказательства законов больших чисел для них получены докладчиком в рамках разработки новой парадигмы математической статистики [15].

Литература

1. Орлов А. И. Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. Ч.1. Нечисловая статистика. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 541 с. 
2. Орлов А. И. Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. Ч.2. Экспертные оценки. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 486 с.
3. Орлов А. И. Прикладная статистика. – М.: Экзамен, 2006. – 671 с
4. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. акад. РАН Ю. В. Прохоров. – М.: Большая Российская Энциклопедия, 1999. –  910 с.
5. Келли Дж. Общая топология. – М.: Наука, 1968. – 384 с.
6. Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях. – М.: Наука, 1979. – 296 с.
7. Орлов А. И. Асимптотика решений экстремальных статистических задач // Анализ нечисловых данных в системных исследованиях. Сборник трудов. Вып.10. — М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1982. — С. 4–12.
8. Kemeny J. Generalized random variables // Pacific Journal of Mathematics. – 1959. – Vol. 9. – P. 1179 –1189.
9. Орлов А. И. О развитии экспертных технологий в нашей стране // Заводская лаборатория. – 2010. – Т.76. – №11. – С.64-70. 
10. Новиков Д. А., Орлов А. И. Экспертные оценки – инструменты аналитика // Заводская лаборатория. – 2013. – Т.79. – №4. – С.3–4.
11. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование при решении задач управления хозяйственными единицами / А.И. Орлов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. – Краснодар: КубГАУ, 2013. – №03(87). – С. 679–705. – URL: http://ej.kubagro.ru/2013/03/pdf/53.pdf (дата обращения 15.09.2013).
12. Орлов А.И. Неформальная информационная экономика будущего – базовая организационно-экономическая теория // Вестник Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). Серия «Социально-экономические науки». – 2010. –№.2. – С .55-67.
13. Луценко Е.В., Коржаков В.Е. Теоретические основы, технология и инструментарий автоматизированного системно-когнитивного анализа и возможности его применения для сопоставимой оценки эффективности вузов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. – Краснодар: КубГАУ, 2013. – №04(88). – URL: http://ej.kubagro.ru/2013/04/pdf/22.pdf (дата обращения 15.09.2013).
14. Луценко Е.В. Автоматизированный системно-когнитивный анализ в управлении активными объектами (системная теория информации и ее применение в исследовании экономических, социально-психологических, технологических и организационно-технических систем): Монография (научное издание). – Краснодар: КубГАУ. 2002. – 605 с.
15. Орлов А.И. Новая парадигма математической статистики // Материалы республиканской научно-практической конференции «Статистика и её применения – 2012». Под редакцией профессора А.А. Абдушукурова. – Ташкент: НУУз, 2012. – С.21-36.